Module Term/Inégalités
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Pour tout $x\gt 0$, on a $\frac{1}{x}\lt 1$
Soit $n\geq 1$. On suppose que $-n \leq t \leq 0$. On s'intéresse à $A = 1 - t^2$. On a
L'ensemble des solutions de l'équation $x^2\lt 1$ est un intervalle.
On sait que $\forall x\gt -1,\, \ln (1+x) \leq x$. On peut en déduire que
Soit $n\geq 1$. L'inégalité $(1+x^2)^{2n} \geq (1+x^2)^n$ est vraie
Pour $\a\geq 0$, l'inégalité $(1+x)^\a\geq 1+x$ est
Pour $x\gt 10$, la quantité $A = \frac{4x+2}{2x-1} - 2$ vérifie
La quantité $\sqrt{5x^2-x+2} - 2x$ est toujours positive
$\forall x\in [0,1],\, \frac{x^2}{1+x}\geq \frac{x^2}{2}$
Pour $x\in [0,1]$, on a $\frac{(1-x)^n e^{1-x}}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$
Soient $X,Y\gt 0$, et $f\colon t\mapsto tX + \frac{Y}{t}$. La valeur minimale que prend $f$ sur $\R_+^*$ est
On sait que $\forall x\in\R,\, e^x \geq 1+x$. On peut en déduire que