Module Période 1 : Logique, ensembles, applications, calcul algébrique, fonctions réelles, intégration, suites
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Toute suite réelle est majorée ou minorée.
Pour $n\in\Z$ et $b\in\N^*$, il existe un unique couple $(q,r)$ avec $q\in\Z$ et $r\in\db{0,b-1}$ tel que $n = bq + r$.
Une suite positive de limite nulle est décroissante APCR.
Soit $f\colon\R\ra\R$ croissante, vérifiant $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$. Alors pour tout $a\geq 0$, $\int_{1-a}^1 f(u)\du \leq a$.
Pour $x,y\lt 0$, $\frac{1}{x} \lt \frac{1}{y} \Rightarrow x \gt y$
$\left(\sum\limits_{k=1}^n a_k\right)^2 \leq n \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k^2\right)$
$\sum_{k=1}^n k = \sum_{j=0}^n (n+1-j)$
$\big(\forall \eps\gt 0,\, x\geq y - \eps\big) \Rightarrow x \gt y$
Soit $f\colon\R\ra\R$ continue, et $u,v\colon\R\ra\R$ dérivables. La fonction $H\colon x\mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\dt$ est dérivable, de dérivée $H' = f(v(x)) - f(u(x))$.
Si $f\circ g$ est injective alors
Si les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite, alors $(u_n)$ converge.
$\sum\limits_{\substack{0\leq k \leq n \\ k \text{ impair}}} 1 = \lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor$
Si $(u_n)$ ne tend pas vers $+\i$, alors il existe une suite extraite $(v_n)$ de $(u_n)$ telle que $(v_n)$ converge.
Soit $P = \sum\limits_{k=0}^n a_k X^k$ scindé, avec $a_n\neq 0$, de racines $\a_1,\dots, \a_n$. On a $\sum\limits_{i,j} \a_i \a_j= \frac{a_{n-2}}{a_n}$.