Module Sup/Analyse locale
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Si f ( x ) → 0 f(x)\ra 0 f ( x ) → 0 g ( x ) ∼ f ( x ) g(x) \sim f(x) g ( x ) ∼ f ( x ) g ( x ) → 0 g(x)\ra 0 g ( x ) → 0
1 x = o + ∞ ( 1 x ) \frac{1}{\sqrt{x}} = o_{+\i}(\frac{1}{x}) x 1 = o + ∞ ( x 1 )
e − 2 n n + 1 + o + ∞ ( n + 1 n ) n → + ∞ → e − 2 e^{-\frac{2n}{n+1} + o_{+\i}(\frac{n+1}{n})} \tend{n\ra +\i} e^{-2} e − n + 1 2 n + o + ∞ ( n n + 1 ) n → + ∞ e − 2
Si f ( x ) = o + ∞ ( x x + 1 ) f(x) = o_{+\i}(\frac{x}{x+1}) f ( x ) = o + ∞ ( x + 1 x ) f ( x ) x → + ∞ → 0 f(x)\tend{x\ra +\i} 0 f ( x ) x → + ∞ 0
e x ln ( 1 + x ) ∼ 0 x e^x \ln (1+x) \sim_0 x e x ln ( 1 + x ) ∼ 0 x
Si f ( x ) = x + x 2 + o + ∞ ( x ) f(x) = x + x^2 + o_{+\i}(x) f ( x ) = x + x 2 + o + ∞ ( x ) f ( x ) = x 2 + o + ∞ ( x 2 ) f(x) = x^2 + o_{+\i}(x^2) f ( x ) = x 2 + o + ∞ ( x 2 )
Quand n → + ∞ n\ra +\i n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n (1+\frac{1}{\sqrt{n}})^n ( 1 + n 1 ) n
1 x − 1 x + 1 ∼ + ∞ 1 x 2 \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\sim_{+\i} \frac{1}{x^2} x 1 − x + 1 1 ∼ + ∞ x 2 1
sin x cos x = sin x + x 3 2 + o 0 ( x 3 ) \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + \frac{x^3}{2} + o_0(x^3) c o s x s i n x = sin x + 2 x 3 + o 0 ( x 3 )
1 2 + x = 1 2 − x 4 + o 0 ( x ) \frac{1}{2+x} = \frac{1}{2} - \frac{x}{4} + o_0(x) 2 + x 1 = 2 1 − 4 x + o 0 ( x )
e x 1 + ln ( 1 + x ) = 1 − x + o 0 ( x ) \frac{e^x}{1 + \ln (1+x)} = 1 - x + o_0(x) 1 + l n ( 1 + x ) e x = 1 − x + o 0 ( x )
En + ∞ +\i + ∞ 1 x + 1 + 1 x − 1 − 2 x \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x} x + 1 1 + x − 1 1 − x 2
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