Module Période 1 : Logique, ensembles, applications, calcul algébrique, fonctions réelles, intégration, suites
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Soit $f\colon\R\ra\R$ continue, et $u,v\colon\R\ra\R$ dérivables. La fonction $H\colon x\mapsto \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\dt$ est dérivable, de dérivée $H' = v'(x) f(v(x)) - u'(x) f(u(x))$.
Une suite $(u_n)$ vérifie $u_0 = 1 = u_1 = 1$ et $\forall n\in\N,\, u_{n+2} = \ln \big(1 + u_n^2 + u_{n+1}\big)$ Pour montrer que $\forall n\geq 1,\, u_n \geq 0$, on procède
La somme de deux suites périodiques est une suite périodique.
Si $f\circ g$ est injective alors
$\left(\sum\limits_{k=1}^n a_k\right)^2 \leq n \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k^2\right)$
$\sum\limits_{1 \leq i,j \leq n} \frac{1}{i+j} = (\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i})^2$
$\sum\limits_{n=p}^q {n \choose p} = {q+1 \choose p+1}$
Si $(u_n)$ ne converge pas vers $\l$, alors il existe $\eps\gt 0$ et une suite extraite $(v_n)$ de $(u_n)$ telle que $\forall n,\, |v_n - \l|\geq \eps$.
$\prod\limits_{\substack{1\leq k \leq 2n \\ k \text{ impair}}} k = \frac{(2n)!}{2^n n!}$.
Soit $f\colon E\ra F$ et $A\subset E$. On a $\ol{f(A)} = f(\ol{A})$.
Soient $a,b,c\in\Z$ $f(x) = ax^2 + bx + c$ une fonction polynomiale, avec $a\neq 0$. La restriction de $f$ à $\Z$ peut-elle être surjective ?
$\prod\limits_{1\leq i,j\leq n} ij =$
Soit $P = \sum\limits_{k=0}^n a_k X^k$ scindé, avec $a_n\neq 0$, de racines $\a_1,\dots, \a_n$. On a $\sum\limits_{i\lt j} \a_i \a_j= \frac{a_{n-2}}{a_n}$.
Dans le développement de $(a + b + c)^3$, le coefficient en $abc$ est
$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor \frac{n - 1}{2}\rfloor} {n\choose 2k+1} = 2^{n-1}$